Проблема комплексной структуры в геометрии
искривлённого пространства-времени
Будет вкратце изложена «проблема комплексной структуры» в твисторной
программе Р. Пенроуза. Однако основное внимание будет уделено анализу
геометрии пространства-времени с применением контактной структуры.
«Обратная конформная система отсчёта»
строится с контактного пространства
ST∗M.
Будет показана связь описанных объектов с теорией гравитации.
Связано с
работой,
что должна появиться в майском номере
Т.М.Ф.
План доклада
Постановка проблемы
- Твисторы Р. Пенроуза, формы контактная и Леви на PN
Явно видна комплексная структура на небесных сферах.
Многообразие световых прямых имеет контактную структуру.
Внешний дифференциал от контактной формы — форма Леви.
- Контактная и комплексная структуры
Разные источники в теории пространства-времени.
У контактной — причинно-следственная структура (световые конусы же).
У комплексной — кинематика (спинорные, векторные, автодуальные поля и т. д. определяются через структуру комплексной проективной прямой).
- Расслоение небесных сфер SX
Начинаем вводить нужный нам лексикон: лоренцево пространство-время в первую очередь.
Контактная «в широком смысле» структура (без полной неинтергируемости).
Контактная структура не определяет не то что комплексную на небесных сферах,
а даже сам набор сфер S ⊂ N!
Мотивировка к появлению понятия «CR».
Проблема комплексной структуры —
невозможность ввести почти CR-структуру на N,
для конформно неплоского лоренцева пространства-времени,
совместимую с комплексными структурами на всех небесных сферах.
Учёт дисторсии
- 5-мерное пространство с четырьмя контактными измерениями
Почему даже отдельная небесная сфера не делает
комплексную структуру в контактных (в узком смысле) измерениях?
- Чем ST∗M лучше N?
Пространство комплексных структур на лежандровых плоскостях проецируется на открытый единичный круг.
На DPM = P(TℂM)
контактной структуры нет никакой, а на DSM —
лишь «в широком смысле».
- Отображение (особое) N в ST∗M [ℝ5], а также SX [ℂ1×ℝ4] в ST∗M и DPM [ℂ2×ℝ3]
Надо чётко сформулировать, даже эти банальности, как теоремы для C∞-погружений.
Не забыть про трансверсальность [ℝ5] соседних небесных сфер на изотропной геодезической.
- Кривизна Вейля
Расслоения (временно́е N и спиноров Вейля) и потенциал тяжести
- Два рецепта изготовления N: чисто контактный и конформная система отсчёта
Фактор по всем контактным (в широком смысле) направлениям и всё.
Разъяснить его смысл как «дифференциально-геометрического времени».
- Векторы из спиноров, голоморфность линейных расслоений на небесных сферах
Характеристические классы.
O(1) как корень квадратный из касательного вектора.
Spin-структура. Как можно было бы сделать оператор Дирака?
- Потенциал тяжести — перевод из внутреннего представления в N-
и обратно
- О пользе ST∗M — вселенная Фридмана
- Вопрос о производных потенциала (включает кривизну Риччи)
Обратная конформная система отсчёта — зачем это было бы нужно?
Математическая и концептуальная мотивация.
Какие ограничения, кроме гомологических, надо наложить на «возможные» небесные сферы?
Гипотезы/вопросы
- Зазор между «традиционной» спинорной связностью и представлением через сечения.
В частности, как получить целиком связность Леви-Чивиты из ∂̅ и потенциала тяжести?
- Что́ в структурах, заданных на N (т. е. с точки зрения X) зависит от (обратной) конформной системы отсчёта?
- Существует ли такая процедура как «преобразование между конформными системами отсчёта»?
——— English:
Innocenti V. Maresin
Steklov Mathematical Institute, Moscow
The complex structure problem in geometry of curved spacetime
First, we’ll recall the complex structure problem
in R. Penrose’s Twistor Programme.
Then, we’ll principally analyse the spacetime geometry via contact structure.
The so named
reverse conformal reference frame,
is based on the contact
ST∗M bundle.
These constructions will be connected with theory of gravitation.
Related to
arXiv:1605.07070,
to appear in
Theor.Math.Phys.
References