И. В. Маресин
Математический институт им. Стеклова (Москва)
Голоморфные структуры в теории пространства-времени и поля
Понятия пространства-времени,
изложенные на языке лоренцевых многообразий,
допускают перенос на расслоение небесных сфер —
подход, делающий больший акцент
на релятивистскую конформно инвариантную причинную структуру,
нежели на традиционную дихотомию «пространство — время».
Геометризованное рассмотрение всех аспектов расслоения небесных сфер
приводит к появлению структуры более сложной, чем контактная.
Также, конформная кривизна пространства-времени
вынуждает отказаться от истинных
(т. е. выдерживающих скобки Ли для (1, 0)-векторов)
комплексных структур в пользу «почти»-структур.
Главным результатом доклада станет демонстрация применения
операторов ∂̅ и ∂
на расслоении для описания полей материи,
вместо традиционной связности.
Доложено…
фактически
7 марта 2019 г.
Цели работы:
- Математический аппарат, позволяющий работать в условиях, когда
традиционная четырёхмерная парадигма пространства-времени отказывает.
- Космологические аспекты пространства-времени:
способы задания, а также изучение глобальных свойств.
Вводные понятия
См. также 2019-Mar07.pdf
- Определение лоренцева пространства-времени
Условия гладкости.
Касательные световые конусы и небесные сферы.
- Расслоение небесных сфер SX
Генеалогия размерностей: световое, небесное (глав. комплексное),
волновое, временно́е; и скобки Ли.
- Причинно-следственная и комплексная структуры
Разные источники
структур в теории пространства-времени.
Причинно-следственная структура
проявляется как световые конусы и пр. гиперповерхности.
У комплексной — кинематика (спинорные, векторные, автодуальные поля и т. д. определяются через структуру комплексной проективной прямой).
- Билинейная форма
ϑ [ [L, V2], V1]
2-форма dϑ,
производная от контактной — (1, 1)-форма.
- Выделение пятимерия N
5-мерное пространство
с четырьмя контактными измерениями;
настоящая коориентированная контактная структура.
ST∗M
как модель N.
Световое измерение как производное от контактных.
Планируется
на 28 марта 2019 г.
Грассманиан, ℂP3
и забывающая проекция
- G͠r2(ℝn)
и особенно для n = 4
Устройство касательного пространства.
Вырожденные проективные (n − 2)-подпространства
самого Gr2
и соответственно в касательном пространстве.
- Забывающее комплексную структуру отображение r:
ℂPn−1∖ℝPn−1 ↠
G͠r2(ℝn)
Пространство комплексных структур на фиксированной плоскости —
открытый единичный круг.
Прямая в ℂPn−1
даёт либо пару противоположных элементов G͠r2,
либо окружность на вырожденном подпространстве,
либо в самом деле два комплексных измерения
(т. е. проецируется инъективно,
причём без вырожденных направлений).
- Комплексная «внутренняя» контактная структура на ℂP3
Лежандровы точки
на G͠r2(ℝ4) —
в точности плоскости, аннулирующие симплексическую форму.
А чему у нас соответствуют контактные прямые?
- Применение к N
Лежандровы
в двух смыслах (внутреннем и внешнем) касательные плоскости.
Внутренняя лежандровость световых линий
как следствие бистепени (1, 1)
у дифференциала контактной структуры.
- Комплексифицировать всё?
Обобщение комплексной — структура «CR» (Коши — Римана).
Исторический очерк — твисторы Р. Пенроуза.
Безмассовые расширения
- Для световой линии
Комплексная
лежандрова кривая в P(Tcℓ N).
Отражения T,
P и PT.
- Для SX в целом…
Топологическое вложение ι:
SX ↪ S.
S как расслоение над N.
Что происходит на ∞ кривизны Вейля?
- … и с квази-(комплексной контактной) структурой
Определение
самой структуры и лежандровых комплексных кривых.
Что у нас равносильно аналитичности X,
а что — слабее?
- Специфичность задания безмассового расширения
|
векторные поля |
диф. оператор |
| // |
|
световые
линии |
E ⊂
q∗(ℂ ⊗ Tc N)
|
∂̅:
C1(N) →
E0,−1 ⊗ C(X)
|
| ⌓ |
| // |
|
квази
ℂ контактная |
TII1,0 ⊂
ℂ ⊗ H X
|
∂̅ext:
{ C1(X)
| ∂̅// = 0 } →
E0,−1 ⊗ C(X)
|
| ⌓ |
| // |
|
очищенное
глав. комплексное
направление |
EI ⊂
ℂ ⊗ H X
|
∂̅⌓:
C1(X) →
E0,−1 ⊗ C(X)
|
|
⌓
|
|
Голоморфность вдоль главного комплексного направления
- Лемма об ассимптотически голоморфных функциях
Оказывается, контактные структуры (ни внешняя, ни внутренная)
для неё не нужны.
- Формы ΩN1,0
и пространство джетов
J1,0Σ(N, )
Голоморфная структура на них вдоль небесных сфер.
- Линейные расслоения, характеристические классы.
O(1) как корень квадратный из касательного вектора.
И, казалось бы, причём тут ΩN1,0?
Spin-структура.
- Устройство пространств голоморфных сечений
Старые знакомые,
или от теории представлений не уйти.
- А давайте вспомним про лоренцевы 4-векторы
То,
что было ∂̅, становится чем?
Заключение
Перечисляем, что сделано.
——— English:
Innocenti V. Maresin
Steklov Mathematical Institute, Moscow
Holomorphic structures in theory of the spacetime and fields
Transfer of concepts originating from Lorentzian space-times
to the bundle of skies is an approach which emphasizes
the conformal relativistic causality
at expense of the space/time dichotomy.
Geometrization of the bundle of skies
results in a structure more intricate than contact structure.
The conformal space-time curvature
makes us to abandon true complex structures
(that is, preserving (1, 0) vectors under Lie brackets)
in favour of certain “almost” structures.
Demonstration of the operators
∂̅ and
∂
on a vector bundle—as a replacement for the traditional connection
metaphor for physical fields—will become a major milestone in this presentation.
The main goal of this research is
a formalism which can endure conditions
where the traditional four-dimensional space-time paradigm fails.
References